Rozwiązywanie równań nieliniowych

• 1. Problem
• 2. Podejście
• 3. DEF#1
• 4. Metody

1. Problem

Dana jest funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (np.: $f(x) = x - \tg(x)$).
Szukamy takie $r \in \mathbb{R}$, dla którego $$f(r) = 0.$$

2. Podejście

Będziemy rozważać metody iteracyjne. Metody te konstruują ciąg przybliżeń $x_0, x_1, x_2, \dots$ według reguły $$x_{n+1} := \Phi(x_n)$$ taki, że $$\lim_{n\to \infty} x_n = r$$

Mówimy o metodzie, że jest zbieżna globalnie, jeśli konstruowany ciąg przybliżeń $\{ x_n \}$ jest zbieżny do $r$ przy dowolnych przybliżeniach początkowych.

3. DEF#1

Niech $\{ x_n \}$ będzie ciągiem zbieżnym do $r$. Jeśli istnieją stałe $C$, $\alpha$ oraz $N \in \mathbb{N}$ takie, że $$|x_{n+1} - r| \le C|x_n - r|^{\alpha} \quad (n \ge N)$$ to mówimy, że wykładnik zbieżności jest rzędu $\alpha$.

• $\alpha = 1$ — zbieżność liniowa, $C < 1$
• $\alpha = 2$ — zbieżność kwadratowa
• $\alpha = 3$ — zbieżność sześcienna

4. Metody

1. Metoda bisekcji
2. Metoda Newtona
3. Metoda siecznych