Triangulacje

• 1. Przykładowe triangulacje $(n+2)$–kąta
• 2. Klasa kombinatoryczna
  • 2.1. Definicja kinda rekurencyjna
• 3. OGF

1. Przykładowe triangulacje $(n+2)$–kąta

1. $2$-kąt możemy podzielić na $0$ sposobów:
   $|$
2. $3$-kąt możemy podzielić na $1$ sposób:
   $\triangle$
3. $4$-kąt możemy podzielić na $2$ sposoby:
   $\cancel\square$ + odbicie
4. $5$–kąt możemy podzielić na $5$ sposobów:
   

(Liczby Catalana)

2. Klasa kombinatoryczna

$\mathcal{T} \cong \mathcal{E} + \mathcal{T} \times \mathcal{Z} \times \mathcal{T}$

($\mathcal{E}$ odpowiada $2$-kątowi, kiedy $\mathcal{Z}$ odpowiada trójkątowi)

Rozumujemy to jako jeden trójkąt, który może mieć po dwóch stronach pewne wielokąty do triangulacji. Ten trójkąt dzieli dwa wielokąty do podziału.

2.1. Definicja kinda rekurencyjna

Mamy podstawowy $2$-kąt: $\boldsymbol{|}$ który ma $0$ triangulacji oraz podstawowy trójkąt $\triangle,$ który ma tylko $1$ triangulację.

Przykładowo dla $4$-kąta:

3. OGF

• $T(z) = 1 + z\cdot(T(z))^2$
• $T(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \cdot z^n$