Przypomnienie — funkcja wypukła

• 1. DEF: Funkcja wypukła
• 2. DEF: Funkcja ściśle wypukła
• 3. Fakt#1
  • 3.1. D-d
• 4. Przykład
  • 4.1. Ćwiczenie

1. DEF: Funkcja wypukła

$f: [a;b] \to \mathbb{R}$ jest wypukła $\iff$ gdy $\forall x_0, x_1 \in [a;b] \enspace \forall p\in [0;1]$ $$p\cdot f(x_0) + (1-p) \cdot f(x_1) \ge f(p x_0 + (1-p) x_1)$$

2. DEF: Funkcja ściśle wypukła

$\forall x_0, x_1 \in [a;b] \enspace \forall p\in (0;1)$
$x_0 \neq x_1$ $$pf(x_0) + (1-p)f(x_1) > f(px_0 + (1-p) x_1)$$

3. Fakt#1

(praktyczny)

1. Jeśli $f''(x) \ge 0$,
   to $f$ jest wypukła.

2. jeśli $f''(x) > 0$
   to $f$ jest ściśle wypukła.

3.1. D-d

• $f: [a;b] \to \mathbb{R}$
• $y,y'$ takie, że $y < y'$
• $\frac{f'(y') - f'(y)}{y' - y} = f''(\xi)$ dla pewnego $\xi \in (y,y')$ z twierdzenia Lagrange’a

Zatem $y < y' \to f'(y) \le f'(y')$

Stąd, dla $x_0, x_1, \enspace p\in (0;1)$
$f(px_0 +(1-p)x_1) - pf(x_0) - (1-p)f(x_1) = p\left( f(px_0 + (1-p)x_1) - f(x_0) \right) - (1-p)\left( f(x_1) - f(px_0 + (1-p)x_1) \right) = p\left( \frac{f(px_0 + (1-p)x_1) - f(x_0)}{px_0 + (1-p)x_1 - x_0} \right)(1-p)(x_1 - x_0) - (1-p)\left( \frac{f(x_0) - f(px_0 + (1-p) x_1)}{x_1 - px_0 - (1-p)x_1} \right) \cdot p \cdot (x_1 - x_0) = p(1-p)(x_1 - x_0)\left( f'(y) - f'(y') \right) = (*)$
z twierdzenia Langrage’a
dla pewnych $y \in (x_0; px_0 + (1-p)x_1)$ oraz $y' \in (px_0 + (1-p) x_1; x_1)$ (tu : $y' > y$)
$(*) \le 0$
$(*) < 0$ dla $f$ ściśle wypukłej

4. Przykład

$g(x) = |x|$ jest wypukła, ale nie ma pochodnej (w $x=0$).

4.1. Ćwiczenie

Zrób $g$ ściśle wypukłą bez drugiej pochodnej.