Postać Newtona wzoru interpolacyjnego

• Postać Newtona

Postać Newtona

$$p_n(x) = \sum_{k=0}^n c_k q_k(x) = \sum_{k=0}^n f[x_0, x_1, \dots, x_k] \prod_{j=0}^{k-1} (x - x_j).$$

Współczynniki $c_0 = f[x_0],\, c_1 = f[x_0, x_1],\, \dots,\, c_n = f[x_0, x_1, \dots, x_n]$ wyznaczamy, konstruując tablicę trójkątną ilorazów różnicowych. Konstrukcja wielomianu interpolacyjnego $p_{n+1}(x)$: $$\begin{aligned} p_n(x_i) &= y_i \qquad (0 \le i \le n)\\ p_{n+1}(x_i) &= y_i \qquad (0 \le i \le n+1) \end{aligned}$$

Wielomian $p_{n+1}(x)$ można przedstawić w postaci $$p_{n+1}(x) = p_n(x) + c_{n+1}(x - x_0) \dotsb (x - x_n).$$

Zatem wyznaczenie $p_{n+1}(x)$ na podstawie $p_n(x)$ wymaga wyznaczenia $c_{n+1} = f[x_0, \dots, x_{n+1}]$ (lokalna modyfikacja).