Numeryczna reprezentacja liczb

• 1. Postać znormalizowana
  • 1.1. Przykłady
• 2. Arytmetyka zmiennopozycyjna (fl)
• 3. Zaokrąglenie i obcięcie
  • 3.1. Przykład — zaokrąglenie dla baz $2$ i $10$
  • 3.2. Błąd względny i precyzja
• 4. MIN oraz MAX
  • 4.1. Przykład
• 5. Przykład reprezentacji liczby

1. Postać znormalizowana

Każdą liczbę rzeczywistą $x \neq 0$ można zapisać w postaci znormalizowanej: $$x = \plusmn m \cdot \beta^c = \plusmn(0.a_1,a_2,\dots)_\beta \cdot \beta^c$$ gdzie:

• $\beta$ jest bazą
• $m \in \left[\frac{1}{\beta};1\right)$ jest mantysą
• $c \in \mathbb{Z}$ jest cechą (rząd wielkości)
• $\forall i ~ a_i \in \{0,1,\dots, \beta-1\},~ a_1 \neq 0$

1.1. Przykłady

1. $\beta = 10$
   $732.5051 = 0.7325051 \cdot 10^3$
   $-0.005612 = -0.5612 \cdot 10^{-2}$

2. $\beta = 2$
   $(1001.11101)_2 = (0.100111101)_2 \cdot 2^4$
   $(0.0010111)_2 = (0.10111)_2 \cdot 2^{-2}$

2. Arytmetyka zmiennopozycyjna (fl)

Bierzemy postać znormalizowaną i narzucamy pewne ograniczenia: $$rd(x) = \plusmn m_t \cdot \beta^c = \plusmn (0,a_1,a_2,\dots,a_t)_\beta \cdot \beta^c$$ gdzie:

• $t$ jest stałą liczbą cyfr mantysy
• cecha $c \in [c_{\min}; c_{\max}] \cap \mathbb{Z}$

Powyższą arytmetykę nazywany arytmetyką zmiennopozycyjną (fl).

Reprezentacja liczby $x$ w fl:

• $rd(x)$
• $\widetilde{x}$

3. Zaokrąglenie i obcięcie

1. Przedstaw $x$ w postaci $x = \plusmn m \beta^c,~ m\in \left[\frac{1}{\beta}; 1\right)$
2. zaokrąglij mantysę $m$ do najbliższej liczby $t$-cyfrowej (w przypadku obcięcia rozwinięcie mantysy obcinamy po $t$ cyfrach), otrzymując $rd(m)$
3. Podstaw $rd(x) := \plusmn rd(m)\beta^c = \plusmn m_t \beta^c$.

Zakłada się, że zaokrąglenie jest domyślnym sposobem otrzymania przybliżenia $rd(x)$ liczby $x$.

3.1. Przykład — zaokrąglenie dla baz $2$ i $10$

$$rd(m) := \begin{cases} 0,a_1,\dots,a_t & \text{jeśli } a_{t+1} \le 4\\ 0,a_1,\dots,a_t + 10^{-t} & \text{jeśli } 5 \le a_{t+1} \le 9 \end{cases}$$

$$rd(m) := \begin{cases} 0,a_1,\dots,a_t & \text{jeśli } a_{t+1} = 0\\ (0,a_1,\dots,a_t)_2 + 2^{-t} & \text{jeśli } a_{t+1} = 1 \end{cases}$$

3.2. Błąd względny i precyzja

Weźmy dwie sąsiadujące niezerowe liczby (liczby maszynowe) $x^- = m_t^- \beta^c$ oraz $x^+ = m_t^+ \beta^c$ przy czym $x^+ = (m_t^- + \beta^{-t})\beta^c$.

Wówczas $$|x^+ - x^-| = \beta^{-t} \beta^c = \beta^{c-t}$$

Oszacujmy więc, błąd względny dla zaokrąglenia: $$|\delta| = \frac{|rd(x) - x|}{|x|} \le \frac{1}{2} \frac{|x^+ - x^-|}{|x|} = \frac{1}{2}\frac{\beta^{c-t}}{|m_x \beta^c|} \le \frac{1}{2} \frac{\beta^{-t}}{\beta^{-1}} = \frac{1}{2}\beta^{1-t}$$

gdzie $x^-$, $x$ oraz $x^+$ są sąsiadującymi liczbami.
Dla obcięcia $|\delta| \le \beta^{1-t}$.

$|\delta| = \frac{|rd(x) - x|}{|x|}$ lub inaczej $rd(x) = x(1 + \delta)$, $|\delta| \le \epsilon$, $\epsilon = 0.5\cdot \beta^{1-t}$.

Liczbę $\epsilon$ nazywamy precyzją arytmetyki.

4. MIN oraz MAX

Z założenia, że $m_t \in \left[\frac{1}{\beta}; 1\right)$ wynika, że w arytmetyce fl możemy reprezentować liczby $x$ spełniające zależność: $$\mathrm{MIN} = \frac{1}{\beta} \beta^{c_{\min}} \le |X| \le (1 - \beta^{-t}) \beta^{c_{\max}} = \mathrm{MAX}$$

Jeśli $|x| > \mathrm{MAX}$, to mówimy o nadmiarze (mogą być przerwane obliczenia).

Jeśli $|x| < \mathrm{MIN}$, to $rd(x) = 0$ i mówimy o niedomiarze. Błąd tej reprezentacji jest równy $100\%$.

4.1. Przykład

Rozważmy arytmetykę dwójkową ($\beta = 2$), w której:

• 1 bit przeznaczono na zapis znaku $s$ liczby $x$
• 6 bitów przeznaczono na zapis cechy $c$ (wraz z bitem znaku) ($c \in [-31, 32]$)
• 16 bitów przeznaczono na zapis mantysy ($t = 16$)

wówczas $$\mathrm{MIN} = \frac{1}{2}2^{-31} \approx 4.66 \cdot 10^{-10}\\ \mathrm{MAX} = (1 - 2^{-16})2^{32} \approx 4.29 \cdot 10^9$$

5. Przykład reprezentacji liczby

• liczba $x = 9.13$ w arytmetyce fl
• $\beta = 2$
• $t = 6$