IEEE-754

• 1. Reprezentacja liczby rzeczywistej w IEEE-754
  • 1.1. Cecha
  • 1.2. Wartości brzegowe
  • 1.3. Przykład
• 2. Symbole specjalne
  • 2.1. Zera
  • 2.2. Nieskończoności
  • 2.3. NaN
  • 2.4. Liczby denormalizowane
• 3. Zaokrąglenie (Przykład)

1. Reprezentacja liczby rzeczywistej w IEEE-754

Liczbę rzeczywistą $x \neq 0$, zgodnie ze standardem IEEE-754 zapiszemy: $$x = \plusmn m\cdot 2^c = \plusmn (1.f)_2 \cdot 2^c = \plusmn (1.a_1,a_2,\dots) \cdot 2^c$$ gdzie

• $m \in [1; 2)$, $f$ jest częścią ułamkową mantysy, $(f)_2 < 1$
• $c \in \mathbb{Z}$
• $\forall i \enspace a_i \in \{0,1\}$

Niech

• $t-1$ będzie liczbą bitów przeznaczoną na zapisanie $f$
• $d$ będzie liczbą bitów przeznaczoną na zapisanie cechy $c$
• $c \in [-2^{d-1} + 1; 2^{d-1}]$

1.1. Cecha

Stosowany jest kod z nadmiarem w zapisie $c$: $$c_{KN} = c + \mathrm{bias} = c + 2^{d-1} - 1$$ stąd $$0 \le c_{KN} \le 2^d - 1\\ c = c_{KN} - \mathrm{bias}$$

1.2. Wartości brzegowe

• $c_{KN}$:
  • $0$
  • $2^d - 1$

$1 \le c_{KN} \le 2^d - 2$, ponieważ $c = c_{KN} - \mathrm{bias} = c_{KN} - (2^{d-1} - 1)$

Ostatecznie rzeczywisty zakres cechy jest następujący: $$c_{\min} = -2^{d-1} + 2 \le c \le 2^{d-1} - 1 = c_{\max}$$

$\mathrm{MIN}_{sub} = 2^{-(t-1)} \cdot 2^{c_{\min}} < \mathrm{MIN}_{nor} = 2^{c_{\min}} \le |rd(x)| \le (2 - 2^{-(t-1)}) \cdot 2^{c_{\max}} = \mathrm{MAX}$

Niech $x^- = m_{t-1}^- 2^c$ oraz $x^+ = m^+_{t-1} 2^c$ będą sąsiadującymi liczbami maszynowymi. Wówczas: $$x^+ = (m^-_{t-1} + 2^{-(t-1)})2^c, \qquad x^- = m_{t-1}^- 2^c$$ $$|x^+ - x^-| = 2^{-(t-1)}2^c = 2^{c - (t-1)}$$

$$|\delta| = \frac{|rd(x) - x|}{|x|} \le \frac{1}{2} \frac{|x^+ - x^-|}{|x|} = \frac{1}{2}\frac{2^{c-(t-1)}}{|m_x 2^c|} \le \frac{1}{2} \frac{2^{-(t-1)}}{1} = 2^{-t} = \epsilon$$

1.3. Przykład

Wyznacz reprezentację $x = \frac{2}{3}$ w formacie single ($t-1 = 23,~ d = 8$).

$$\frac{2}{3} = (0.10101010\dots)_2 \approx (1.0101010\dots11)_2 \cdot 2^{-1}$$

$c = -1,~ c_{KN} = c + \mathrm{bias} = c + 127; \quad c_{KN} = 126 = (01111110)_2$

$$\frac{2}{3} \approx [0 ~|~ 01111110 ~|~ 01010101010101010101011 ]$$

Julia lang: bitstring(Float32(2/3))

2. Symbole specjalne

(w nawiasach podane są wielkości w formacie single)

2.1. Zera

$c_{KN} = 0, f = 0$

• $+0 \enspace ([0 ~|~ 00000000 ~|~ 00000000000000000000000])$
• $-0 \enspace ([1 ~|~ 00000000 ~|~ 00000000000000000000000])$
• $-0$ lub $+0$ jest w szczególności skutkiem niedomiaru ($|x| < 2^{-23} \cdot 2^{-126} - \mathrm{MIN}_{sub}$)

2.2. Nieskończoności

• $+\infty ([0 ~|~ 11111111 ~|~ 00000000000000000000000])$
• $-\infty ([1 ~|~ 11111111 ~|~ 00000000000000000000000])$
• $+\infty$ jeśli wystąpił nadmiar, $x + \infty = +\infty$, $x \cdot \infty = +\infty$, $\frac{\infty}{x} = +\infty$ dla $x > 0$

2.3. NaN

($c_{KN} = 255,~ f \neq 0$)

($[0 ~|~ 11111111 | 10000000000000000000000]$)

NaN pojawia się w sytuacjach:

• $\frac{0}{0}$
• $\infty - \infty$
• NaN $+ x$

2.4. Liczby denormalizowane

$x \in (-\mathrm{MIN}_{nor};~-\mathrm{MIN}_{sub}] \cup [\mathrm{MIN}_{sub};~ \mathrm{MIN}_{nor})$

($c_{KN} = 0,~ f \neq 0$)

• $x = 2^{-23} \cdot 2^{-126} \quad ([0 ~|~ 00000000 ~|~ 00000000000000000000001])$
• $x = -2^{-23} \cdot 2^{-126} \quad ([1 ~|~ 00000000 ~|~ 00000000000000000000001])$

3. Zaokrąglenie (Przykład)

Rozważamy arytmetykę single.

$$x = (1 + 2^{-24}) \cdot 2^0$$

Sąsiednie liczby maszynowe

• $x^- = 1$
• $x^+ = (1 + 2^{-23}) \cdot 2^0$
• $x \in (x^-;~ x^+)$
• $|x^+ - x^-| = 2^{-23}$
• $|x^+ - x| = 2^{-24}$
• $|x - x^-| = 2^{-24}$

$$\begin{aligned} x^- & = 1 \cdot 2^0 \quad ([0 ~|~ 01111111 ~|~ 00000000000000000000000])\\ x & = (1 + 2^{-24}) \cdot 2^0 \quad ([0 ~|~ 01111111 ~|~ 00000000000000000000000 ~|~ \bold{1}00 \dots])\\ x^+ & = (1 + 2^{-23}) \cdot 2^0 \quad ([0 ~|~ 01111111 ~|~ 0000000000000000000000\bold{1}]) \end{aligned}$$

$rd(x) = x^- = 1$